Title: Mécanique

Q: Quels sont les deux cas de changements de référentiels au programme?
A: 1 - Celui où les deux référentiels sont en translation (quelconque) l'un par rapport à l'autre
2 - et celui où ils sont en rotation uniforme autour d'un axe fixe l'un par rapport à l'autre.

Q: Si deux référentiels sont galiléens, quel est leur mouvement relatif?
A: Deux référentiels galiléens sont forcément en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre.

Q: Dans le cas où le référentiel [$](\mathcal{R}')[/$] est en translation par rapport à [$](\mathcal{R})[/$] galiléen, comment s'exprime les pseudo-forces d'inertie?
A: La pseudo-force d'inertie d'entraînement est
[$$]\vv{f_\text{ie}} = -m\, \vv{a_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}}}[/$$]
(et il n'y a pas de force d'inertie de Coriolis dans ce cas).

Q: Dans le cas où le référentiel [$](\mathcal{R}')[/$] est en rotation uniforme autour d'un axe fixe par rapport à [$](\mathcal{R})[/$] galiléen, comment s'exprime les pseudo-forces d'inertie?
A: La pseudo-force d'inertie d'entraînement est
[$$]\vv{f_\text{ie}} = -m\, \vv{\Omega} \wedge \Big( \vv{\Omega} \wedge \vv{OM} \Big) [/$$]
où [$]\vv{\Omega}[/$] est le vecteur rotation de [$](\mathcal{R}')[/$] par rapport à [$](\mathcal{R})[/$] (sa norme est la vitesse angulaire [$]\omega[/$] et sa direction est l'axe [$]\vv{u}[/$] autour duquel on tourne
[$$]\vv{\Omega} = \omega\, \vv{u}[/$$]
Quant à la pseudo-force d'inertie de Coriolis, elle s'écrit
[$$]\vv{f_\text{ic}} = -2\, m\, \vv{\Omega} \wedge \vv{v_r}[/$$]
où [$]\vv{v_r}[/$] est la vitesse relative, c'est à dire la vitesse du système dans le référentiel [$](\mathcal{R}')[/$].

Q: Dans le cas où le référentiel [$](\mathcal{R}')[/$] est en rotation uniforme autour d'un axe fixe par rapport à [$](\mathcal{R})[/$] galiléen, que peut-on dire de la pseudo-force d'inertie d'entraînement?
A: Elle s'écrit
[$$]\vv{f_\text{ie}} = -m\, \vv{\Omega} \wedge \Big( \vv{\Omega} \wedge \vv{OM} \Big) [/$$]
et on peut montrer qu'elle s'écrit de manière strictement équivalente
[$$] \vv{f_\text{ie}} = m\,\omega^2\, \vv{HM}  [/$$]
où [$]H[/$] est le projeté orthogonal de [$]M[/$] sur l'axe de rotation, et [$]\omega[/$] est la vitesse angulaire de rotation de [$](\mathcal{R}')[/$] par rapport à [$](\mathcal{R})[/$].
Puisque la force est selon [$]+\vv{HM}[/$], on la dit axifuge : elle tend à éloigner radialement le système de l'axe de rotation.

Q: Comment s'exprime l'énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe?
A: [$$]E_c = \frac12\, J\, \omega^2[/$$]
où [$]\omega = \dot{\theta}[/$] est la vitesse angulaire du solide, et [$]J[/$] son moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation.

Q: Comment s'exprime le moment cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe, par rapport à un point de cet axe?
A: [$$]\vv{\mathcal{L}} = J\, \omega\, \vv{u}[/$$]
si [$]\vv{u}[/$] est le vecteur directeur de cet axe. On fera attention au sens de [$]\vv{u}[/$] (on l'oriente avec la règle du pouce de la main droite).

Q: Énoncer la loi de Coulomb pour le frottement solide dans le cas du glissement.
A: Dans le cas du glissement,
[$$] ||\vv{T}|| = f\, || \vv{N} || [/$$]
à condition qu'il y ait effectivemment glissement : il faut vérifier que la vitesse de glissement est non nulle [$]\vv{v} \neq \vv{0}[/$].

Q: Que peut-on dire de la puissance développée par la force d'inertie de Coriolis?
A: Elle est toujours nulle car cette force est par nature orthogonale à la vitesse.
La force d'inertie de Coriolis ne travaille donc jamais.

Q: Que peut-on dire de la force de Coriolis pour un système à l'équilibre dans [$](\mathcal{R}')[/$]?
A: La force de Coriolis est nulle dans ce cas (appelé un pseudo-équilibre) car la vitesse relative est nulle et que
[$$]\vv{f_\text{ic}} = -2\, m\, \vv{\Omega} \wedge \vv{v_r} [/$$]

Q: Dans le cas particulier où [$](\mathcal{R})[/$] est le référentiel géocentrique et [$](\mathcal{R}')[/$] le référentiel terrestre, que peut-on dire de la pseudo-force d'inertie d'entraînement?
A: Elle est comprise dans le poids par définition de celui-ci!

Q: Citez une manifestation du caractère non-galiléen du référentiel terrestre.
A: 1 - L'accélération de la pesanteur n'est pas identique partout (elle dépend de la latitude car le poids prend en compte la force d'inertie d'entraînement par rapport au référentiel géocentrique).
2 - Les corps sont légèrement déviés vers l'Est lors d'une chute libre.
Notons que ces deux manifestations sont de faible amplitude car le référentiel terrestre reste en bonne approximation galiléen pour les expériences courtes devant l'échelle d'une journée.

Q: Citez la loi de Coulomb pour le frottement solide en l'absence de glissement.
A: La vitesse de glissement est nulle
[$$]\vv{v} = \vv{0}[/$$]
Mais attention, le glissement apparaît dès lors que la condition
[$$] || \vv{T} || \leq f\, || \vv{N} || [/$$]
n'est plus vérifiée (c'est-à-dire dès que [$] || \vv{T} || = f\, || \vv{N} ||[/$] donc).

Q: Qu'est-ce qu'une force conservative?
A: C'est une force qui dérive d'une énergie potentielle [$]E_p[/$], c'est-à-dire une force qui s'écrit
[$$] \vv{F} = - \vv{\text{grad}} E_p [/$$]
Une conséquence souvent mentionnée est que son travail entre deux positions [$]A[/$] et [$]B[/$] ne dépend pas du chemin suivi entre [$]A[/$] et [$]B[/$].

Q: Comment s'écrit le théorème du moment cinétique dans un référentiel non galiléen?
A: Il s'écrit comme dans un référentiel galiléen
[$$] \frac{\dd \vv{\mathcal{L}}}{\dd t} = \sum \vv{\mathcal{M}} [/$$]
à ceci près qu'il faut bien sûr tenir compte des moments des forces d'inertie.