Title: Électromagnétisme

Q: Énoncer le principe de Curie.
A: "Les effets ont au moins la symétrie des causes."
Ce n'est pas un principe général (il en existe de nombreuses violations) mais il concerne à l'inverse des domaines de la physique extrêmement variés. En prépa, on peut l'utiliser en mécanique des fluides, en diffusion et en électromagnétisme principalement. Ce principe est dû à Pierre Curie.

Q: Théorème de Gauss
A: [$$]\varoiint_S \overrightarrow{E}\, \cdot \, \overrightarrow{\text{d} S} = \frac{Q_\text{int}}{\varepsilon_0} [/$$]

Q: Théorème d'Ampère
A: [$$]\oint_C \vv{B}\, \cdot\, \vv{\dd \ell} = \mu_0\, I_\text{enlacée}[/$$]
Attention il n'est vrai que dans le cas statique, et aussi dans l'ARQS. Mais dans le cas général, il faut ajouter le courant de déplacement. Penser à orienter le contour [$]C[/$] !

Q: Champ électrique créé par une charge ponctuelle
A: [$$] \vv{E} = \frac{q}{4\, \pi\, \varepsilon_0\, r^2}\, \vv{e_r} [/$$]

Q: Potentiel créé par une charge ponctuelle
A: [$$] V = \frac{q}{4\, \pi\, \varepsilon_0\, r} [/$$]

Q: Définition du potentiel électrostatique [$]V[/$]
A: [$$] \vv{E} = - \vv{\text{grad}}\, V [/$$]
en statique.

Q: Nom et unité de [$]\varepsilon_0[/$]
A: Permittivité électrique du vide, en
[$]\text{F}\, \cdot\, \text{m}^{-1}[/$]
On peut retrouver l'unité à partir de l'expression de la capacité d'un condensateur plan
[$$]C = \frac{\varepsilon_0\, S}{e} [/$$]

Q: Inductance d'un solénoïde
A: [$$] L = \mu_0\, n^2\, \ell\, S [/$$]
si [$]S[/$] est la section d'une spire, [$]n[/$] le nombre de spires par unité de longueur et [$]\ell[/$] la longueur du solénoïde.

Q: Valeur de [$]\varepsilon_0[/$]
A: [$$]\varepsilon_0 = 8,\! 85 \times 10^{-12} \text{ F}\, \cdot\, \text{m}^{-1} [/$$]
On peut aussi retenir
[$$]\frac{1}{4\, \pi\, \varepsilon_0} \approx 9 \times 10^9 \text{ S. I.} [/$$]

Q: Équation de Maxwell-Gauss
A: [$$] \text{div}\, \vv{E} = \frac{\varrho}{\varepsilon_0} [/$$]

Q: Équation de Maxwell-Ampère en statique
A: [$$] \vv{\text{rot}}\, \vv{B} = \mu_0\, \vv{\jmath}   [/$$]

Q: Qu'est-ce que le moment dipolaire d'une distribution de charge ?
A: [$$] \vv{p} = q\, \vv{NP} [/$$]
si [$]q[/$] est la charge positive totale (donc la charge négative totale est [$]-q[/$] car le dipôle est neutre), [$]N[/$] le barycentre des charges négatives et [$]P[/$] celui des charges positives.

Q: Qu'est-ce que l'approximation dipolaire?
A: [$$] r \gg a [/$$]
si [$]r[/$] est la distance entre l'observateur et le dipôle, et [$]a[/$] la taille du dipôle.
Cela consiste à "regarder le dipôle de très loin".

Q: Quelle est la charge totale d'une boule uniformément chargée?
A: En notant [$]\varrho[/$] la densité volumique de charge et [$]R[/$] le rayon de la boule, on a
[$$] \text{charge} = \text{charge volumique } \times \text{ volume} [/$$]
soit
[$$] Q = \varrho\, \times\, \frac{4\, \pi\, R^3}{3} [/$$]
Attention, si la boule n'est pas uniformément chargée, donc si [$]\varrho[/$] n'est pas une constante, il faut intégrer sur le volume de la boule
[$$] Q = \iiint_V \varrho(r,\, \theta,\, \varphi)\, \dd V [/$$]

Q: Équation de Maxwell-Flux
A: [$$] \text{div}\, \vv{B} = 0 [/$$]
Elle traduit l'inexistence des monopôles magnétiques.

Q: Quel est le champ magnétique créé par un solénoïde infini?
A: À l'intérieur du solénoïde, on a
[$$] \vv{B} = \mu_0\, n\, I\, \vv{e_z} [/$$]
si [$]n[/$] est le nombre de spires par unité de longueur, [$]I[/$] l'intensité qui traverse le bobinage, et [$]\vv{e_z}[/$] la direction de l'axe du solénoïde.
À l'extérieur, le champ magnétique est nul.

Q: Quel est le champ électrique créé par un plan uniformément chargé?
A: [$$] \vv{E} = \frac{\sigma}{2\, \varepsilon_0}\, \vv{e_z} [/$$]
si [$]\vv{e_z}[/$] est orthogonal au plan, et qu'il s'éloigne du plan.

Q: Donner des propriétés de la topographie du champ électrostatique.
A: 1. En statique, les lignes de champ [$]\vv{E}[/$] sont toujours ouvertes.
2. Elles partent des charges positives et vont vers les charges négatives.
3. Elles sont orthogonales aux surfaces équipotentielles.
4. Le long d'un tube de champ, l'amplitude du champ augmente si le tube se resserre.

Q: Qu'est-ce que le modèle de Thomson?
A: C'est un modèle d'atome où les électrons ponctuels évoluent à l'intérieur d'un noyau uniformément chargé qui occupe tout le volume de l'atome. On l'appelle pour cette raison le modèle du pudding.
C'est un modèle complètement désuet. Depuis les expériences de Rutherford (début XXème), on sait que l'atome est quasiment vide, et que le noyau est minuscule. Les électrons évoluent donc autour du noyau (comme les planètes autour du Soleil, d'où le nom de modèle planétaire, ou modèle de Rutherford).
Les théories modernes, basées sur la physique quantique, décrivent plutôt les électrons par un nuage électronique (notion d'orbitales atomiques ou moléculaires).

Q: Qu'est-ce que la polarisabilité d'un atome ou d'une molécule?
A: Lorsqu'un atome ou une molécule apolaire est plongé dans un champ électrique extérieur [$]\vv{E_\text{ext}}[/$], il peut acquérir un moment dipolaire [$]\vv{p}[/$]. Si le champ n'est pas trop intense, alors ce moment sera proportionnel à [$]\vv{E_\text{ext}}[/$].
On note le coefficient de proportionnalité [$]\alpha\, \varepsilon_0[/$], de sorte que la polarisabilité [$]\alpha[/$] soit en [$]\text{m}^3[/$].
[$$]\vv{p} = \alpha\, \varepsilon_0\, \vv{E_\text{ext}} [/$$]

Q: Capacité d'un condensateur plan
A: [$$] C = \frac{S\, \varepsilon_0}{e} [/$$]
si [$]S[/$] est la surface des armatures, et [$]e[/$] l'épaisseur entre les armatures.
À noter que si le vide entre les armatures est remplacé par un isolant de permittivité relative [$]\varepsilon_r[/$] (sans dimension), alors il faut remplacer
[$$] \varepsilon_0 \rightarrow \varepsilon_0\, \varepsilon_r [/$$]
Autre remarque, c'est la formule utile pour se souvenir de l'unité de [$]\varepsilon_0[/$], en [$]\text{ F}\, \cdot \, \text{m}^{-1}[/$].

Q: Nom et unité de [$]\mu_0[/$]
A: [$]\mu_0[/$] est la perméabilité magnétique du vide. Elle s'exprime en [$]\text{ H}\, \cdot\, \text{m}^{-1}[/$].

Q: Valeur de [$]\mu_0[/$]
A: [$$]\mu_0 = 4\, \pi\, \times 10^{-7} \text{ H}\, \cdot\, \text{m}^{-1} [/$$]
C'est une valeur exacte, posée par définition.

Q: Qu'est-ce que la densité surfacique de courant?
A: Notée [$]\vv{\jmath}[/$], elle est telle que le courant [$]I[/$] qui traverse une surface [$]S[/$] est
[$$] I = \iint_S\, \vv{\jmath}\, \cdot\, \vv{\dd S} [/$$]
Dans certains exercices, elle peut parfois être appelée densité volumique de courant (parce qu'elle évoque un courant qui circule dans un volume...).

Q: Vecteur de Poynting
A: [$$] \vv{\pi} = \frac{\vv{E} \wedge \vv{B}}{\mu_0} [/$$]

Q: Que représente le vecteur de Poynting?
A: C'est une puissance surfacique. La puissance qui traverse une surface [$]S[/$] est
[$$] \mathcal{P} = \iint_S \vv{\pi}\, \cdot\, \vv{\dd S} [/$$]
et l'énergie qui traverse cette même surface pendant [$]\dd t[/$] est donc
[$$] \dd \mathcal{E} = \mathcal{P}\, \dd t = \bigg( \iint_S \vv{\pi}\, \cdot\, \vv{\dd S} \bigg)\, \dd t [/$$]

Q: Densité volumique d'énergie électromagnétique
A: [$$] u = \frac12\, \varepsilon_0\, E^2 + \frac{1}{2\, \mu_0}\, B^2 [/$$]
Le permier terme est la densité d'énergie électrique et le second la densité d'énergie magnétique.

Q: Définition de la capacité
A: Un condensateur soumis à une tension [$]U[/$] acquiert une charge [$]q[/$] telle que
[$$] q = C\, U [/$$]

Q: Définition de l'auto-inductance [$]L[/$]
A: Un circuit électrique parcouru par un courant [$]I[/$] crée un champ magnétique. Le flux (propre) [$]\phi[/$] de ce champ magnétique à travers le circuit s'exprime par
[$$] \phi = L\, I [/$$]

Q: Puissance Joule volumique
A: [$$] \mathcal{P}_V = - \vv{\jmath}\, \cdot\, \vv{E} [/$$]
Attention, c'est la puissance volumique reçue par le champ électromagnétique (elle est négative puisqu'elle est en fait perdue). La puissance volumique reçue par le milieu est [$] \vv{\jmath}\, \cdot\, \vv{E} [/$]

Q: Équation de Maxwell-Ampère
A: [$$] \vv{\text{rot}} \vv{B} = \mu_0\, \vv{\jmath} + \varepsilon_0\, \mu_0\, \frac{\partial \vv{E}}{\partial t} [/$$]

Q: Comment se rédige un argument de symétrie pour le champ magnétostatique?
A: Le plan [$](M, \vv{a}, \vv{b})[/$] est un plan de symétrie de la distribution des courants, donc d'antisymétrie de [$]\vv{B}[/$] par principe de Curie. Le champ [$]\vv{B}[/$] est ainsi orthogonal à ce plan, et on conclut
[$$]\vv{B}(M) = B(M)\, \vv{c} [/$$]

Q: Théorème de Gauss gravitationnel
A: [$$] \varoiint_S \vv{\mathcal{G}}\, \cdot\, \vv{\dd S} = -4\, \pi\, G\, M_\text{int} [/$$]
Attention à ne pas confondre le champ gravitationnel [$]\vv{\mathcal{G}}[/$] et la constante de gravitation (dite aussi constante de Newton)
[$$] G = 6,\! 67 \times 10^{-11} \text{ N}\, \cdot\, \text{kg}^{-2}\, \cdot\, \text{m}^{-2} [/$$]
(et pas non plus avec l'accélération de la pesanteur [$]\vv{g}[/$] de norme
[$$] g = 9,\! 81 \text{ m}\, \cdot\, \text{s}^{-2} [/$$]
à la latitude de la France. La différence entre [$]\vv{\mathcal{G}}[/$]  et [$]\vv{g}[/$] est la force d'inertie d'entraînement due à la rotation de la Terre sur elle-même, voir le chapitre M2).

Q: Lien entre tension électrocinétique et champ électrostatique.
A: Entre deux points [$]A[/$] et [$]B[/$], la tension est
[$$] U = V_A - V_B = \int_A^B\, \vv{E}\, \cdot\, \vv{\dd \ell} [/$$]
En français, la tension est la circulation du champ électrostatique le long d'un contour qui va de [$]A[/$] à [$]B[/$].
Il faut noter que cette circulation ne dépend en fait pas du chemin suivi entre [$]A[/$] et [$]B[/$], car le champ électrostatique est à circulation conservative puisque
[$$] \vv{\text{rot}} \vv{E} = \vv{0} [/$$]

Q: Ordre de grandeur du champ magnétique terrestre
A: Il est de l'ordre de la dizaine de microteslas
[$$] \approx 20\text{ ou } 40\ \mu \text{T} [/$$]
selon les endroits.

Q: Qu'est-ce que le champ disruptif d'un milieu isolant?
A: C'est l'amplitude du champ électrique qu'il faut appliquer à ce milieu pour en ioniser les molécules et ainsi le rendre conducteur.

Q: Comment compte-t-on les courants enlacés qu'il faut écrire dans le théorème d'Ampère?
A: Le contour d'Ampère, après avoir été ORIENTÉ, donne le sens d'algébrisation des courants par la règle du pouce de la main droite. On compte positivement les courants "dans le bon sens" et négativement ceux "dans l'autre sens".

Q: Équation de Maxwell-Faraday
A: [$$] \vv{\text{rot}} \vv{E} = - \frac{\partial \vv{B}}{\partial t} [/$$]

Q: Équation de Maxwell-Faraday en statique
A: [$$] \vv{\text{rot}} \vv{E} = \vv{0} [/$$]
cela implique qu'il existe une quantité [$]V[/$] telle que
[$$] \vv{E} = - \vv{\text{grad}} V [/$$]

Q: Force de Lorentz
A: [$$] \vv{F} = q\, \Big( \vv{E} + \vv{v} \wedge \vv{B} \Big) [/$$]

Q: Qu'est-ce qui explique que les protons dans un noyau atomique sont stables?
A: Étant chargés positivement, ils se repoussent très fortement du fait de la force de Coulomb entre eux.
Mais à l'échelle nucléaire, l'interaction forte, l'une des quatres interactions fondamentales en physique, est au contraire attractive et compense la répulsion électrostatique.

Q: Champ magnétique créé par un fil droit infini parcouru par un courant [$]I[/$]
A: [$$] \vv{B} = \frac{\mu_0\, I}{2\, \pi\, r}\, \vv{e_\theta} [/$$]
si [$]r[/$] est la coordonnée cylindrique radiale.

Q: Force de Laplace
A: Si un fil parcouru par un courant [$]I[/$] est plongé dans un champ [$]\vv{B}[/$], alors un élément [$]\vv{\dd \ell}[/$] de ce fil subit la force de Laplace
[$$]\vv{\dd F} = I\, \vv{\dd \ell} \wedge \vv{B} [/$$]
C'est la résultante macroscopique des forces de Lorentz
[$$]\vv{F} = q\, \vv{v} \wedge \vv{B} [/$$]
qui s'exercent sur les porteurs de charges (= les électrons libres dans un conducteur normal).

Q: Équation de conservation de la charge
A: [$$] \frac{\partial \varrho}{\partial t} + \text{div}\, \vv{\jmath} = 0 [/$$]
où [$]\varrho[/$] est la charge volumique et [$]\vv{\jmath}[/$] le courant surfacique.

Q: Pourquoi
[$$]\vv{E} = - \vv{\text{grad}} V[/$$]
en statique? Est-ce encore vrai dans le cas général?
A: Parce qu'en statique
[$$]\vv{\text{rot}} \vv{E} = \vv{0}[/$$]
(équation de Maxwell-Faraday), et que [$]\vv{\text{rot}}\, \vv{\text{grad}} (f) = \vv{0} [/$] pour [$]f[/$] quelconque. Ce n'est plus vrai dans le cas général puisqu'alors
[$$]\vv{\text{rot}} \vv{E} = -\frac{\partial \vv{B}}{\partial t} \neq \vv{0} [/$$]

Q: Quelle est l'analogie entre [$]\varepsilon_0[/$] de l'électrostatique et [$]G[/$] de la gravitation?
A: On a
[$$]\frac{1}{4\, \pi\, \varepsilon_0} \longleftrightarrow -G[/$$]
Cela se retrouve en comparant la force de Coulomb entre deux charges ponctuelles
[$$]\vv{F_c} = \frac{q_1\, q_2}{4\, \pi\,\varepsilon_0\, r^2}\, \vv{e_r}[/$$]
et la force de Newton entre deux masses ponctuelles
[$$]\vv{F_g} = -G\, \frac{m_1\, m_2}{ r^2}\, \vv{e_r}[/$$]
avec l'analogie [$]q \longleftrightarrow m[/$].

Q: Qu'appelle-t-on force électromotrice [$]e[/$] dans la loi de Faraday?
A: C'est la circulation du champ électrique le long de ce circuit
[$$]e = \oint \vv{E}\, \cdot\, \vv{\dd \ell}[/$$]
La loi de Faraday indique qu'elle vaut l'opposé de la variation du flux magnétique
[$$]e = -\frac{\dd \phi}{\dd t}[/$$]
où
[$$] \phi = \iint_S \vv{B}\, \cdot\, \vv{\dd S}[/$$]

Q: Qu'appelle-t-on les équations de structure?
A: Ce sont les deux équations de Maxwell indépendantes du milieu (c'est-à-dire des charges et des courants). Ce sont donc les équations de Maxwell-Flux et de Maxwell-Faraday.
[$$]\text{div} \vv{B} = 0 \quad \text{et} \quad \vv{\text{rot}} \vv{E} = - \frac{\partial \vv{B}}{\partial t} [/$$]

Q: Qu'appelle-t-on le courant de déplacement?
A: C'est un terme qui apparaît dans le théorème d'Ampère généralisé (c'est-à-dire le théorème d'Ampère hors statique). Il s'écrit
[$$] I_\text{déplacement} = \varepsilon_0\, \iint \frac{\partial \vv{E}}{\partial t}\, \cdot\, \vv{\dd S} [/$$]
Attention, il ne s'agit pas physiquement d'un courant (c'est-à-dire d'un déplacement de charges)...

Q: Forme intégrale de l'équation de Maxwell-Flux
A: [$$] \varoiint \vv{B}\, \cdot\, \vv{\dd S} = 0 [/$$]
C'est la conservation du flux magnétique. Elle implique que les lignes de champ magnétique sont toujours fermées.

Q: Théorème d'Ampère généralisé
A: [$$]\oint \vv{B}\, \cdot\, \vv{\dd \ell} = \mu_0\, \Big( I_\text{enlacée} + I_\text{déplacement} \Big)[/$$]
avec
[$$]I_\text{déplacement} = \varepsilon_0\, \frac{\dd}{\dd t} \bigg( \iint \vv{E}\, \cdot\, \vv{\dd S} \bigg) [/$$]

Q: On considère un champ magnétique [$]\vv{B} = B(r)\, \vv{e_\theta}[/$], que vaut sa circulation sur un cercle de rayon [$]r[/$] ?
A: [$$] \oint \vv{B}\, \cdot\, \vv{\dd \ell} = 2\, \pi\, r\, B(r) [/$$]

Q: Quelles sont les équations locales vérifiées par le champ gravitationnel?
A: Par l'analogie gravito-électrostatique, le champ de gravitation vérifie
[$$] \text{div} \vv{\mathcal{G}}  = -4\, \pi\, G\, \varrho \quad \text{et} \quad \vv{\text{rot}} \vv{\mathcal{G}} = \vv{0} [/$$]
où [$]\varrho[/$] est la masse volumique.

Q: Quel est l'apport de Maxwell aux équations de Maxwell?
A: Le terme [$]\mu_0\, \varepsilon_0\, \dfrac{\partial \vv{E}}{\partial t} [/$] dans l'équation de Maxwell-Ampère.

Q: Loi d'Ohm locale
A: [$$] \vv{\jmath} = \gamma\, \vv{E} [/$$]
où [$]\gamma[/$] est la conductivité électrique du matériau. On retiendra pour le cuivre
[$$]\gamma \approx 6 \times 10^7 \text{ S}\, \cdot\, \text{m}^{-1}[/$$]

Q: Quelle est la résistance d'un fil de longueur [$]\ell[/$] et de section [$]S[/$] ?
A: [$$]R = \frac{\ell}{\gamma\, S}[/$$]
où [$]\gamma[/$] est la conductivité électrique du matériau.

Q: En quoi consiste l'ARQS?
A: L'approximation des régimes quasistationnaire (magnétique) consiste à négliger le temps de propagation de l'onde électromagnétique, c'est-à-dire de considérer la propagation instantanée.
On a dans ce cas
[$$]\vv{\text{rot}} \vv{B} \approx \mu_0\, \vv{\jmath} [/$$]

Q: Comment se comporte le champ magnétique dans l'ARQS?
A: Il se comporte comme en statique.

Q: Comment s'écrit la loi des noeuds dans un contexte d'électromagnétisme?
A: [$$]\text{div} \vv{\jmath} = 0 [/$$]

Q: Que vaut [$]\varrho[/$] dans un conducteur dans l'ARQS?
A: Dans un conducteur dans l'ARQS
[$$]\varrho = 0[/$$]
car dans l'ARQS on a [$]\text{div} \vv{\jmath} = 0[/$], or dans un conducteur [$]\vv{\jmath} = \gamma\, \vv{E}[/$] et d'après l'équation de Maxwell-Gauss [$]\text{div} \vv{E} = \varrho\, /\, \varepsilon_0[/$]

Q: Comment s'écrivent les équations de Maxwell dans l'ARQS?
A: Seule l'équation de Maxwell-Ampère change. On a
[$$]\text{div} \vv{B} = 0[/$$]
[$$] \text{div} \vv{E} = \frac{\varrho}{\varepsilon_0} [/$$]
[$$]\vv{\text{rot}} \vv{E} = - \frac{\partial \vv{B}}{\partial t}[/$$]
comme dans le cas général, mais
[$$] \vv{\text{rot}} \vv{B} \approx \mu_0\, \vv{\jmath} [/$$]

Q: Énergie potentielle d'une charge [$]q[/$] dans un potentiel électrostatique [$]V[/$]
A: [$$]E_p = q\, V[/$$]

Q: Expression du courant électrique [$]\vv{\jmath}[/$] en fonction de la densité volumique de charge [$]\varrho[/$] et de la vitesse des charges [$]\vv{v}[/$]
A: [$$] \vv{\jmath} = \varrho\, \vv{v} [/$$]

Q: En régime stationnaire, quelle équation (appelée de Poisson) est vérifiée par le potentiel électrostatique?
A: On a d'une part en statique
[$$]\vv{E} = - \vv{\text{grad}} V[/$$]
et d'autre part
[$$]\text{div} \vv{E} = \frac{\varrho}{\varepsilon_0} [/$$]
donc, puisque [$]\text{div}\, \vv{\text{grad}}\, f = \Delta f[/$], on obtient l'équation de Poisson
[$$] \Delta V = -\frac{\varrho}{\varepsilon_0} [/$$]

Q: Qu'appelle-t-on la résistivité [$]\varrho [/$] d'un conducteur?
A: C'est par définition l'inverse de sa conductivité [$]\gamma[/$] :
[$$] \varrho = \frac{1}{\gamma} [/$$]
Notons que de la même manière la conductance [$]G[/$] est l'inverse de la résistance [$]R[/$] par définition  :
[$$] G = \frac{1}{R} [/$$]
(et par contre bien sûr le lien entre résistance et résistivité n'est pas évident : il dépend notamment de la géométrie du conducteur. Pour un fil de longueur [$]\ell[/$] et  de section [$]S[/$], on a
[$$] R = \frac{\ell\, \varrho}{S} = \frac{\ell}{\gamma\, S} [/$$]

Q: Quelles sont les actions subies par un moment dipolaire [$]\vv{p}[/$] dans un champ extérieur [$]\vv{E_\text{ext}}[/$] ?
A: Il subit un couple
[$$] \vv{\mathcal{M}} = \vv{p} \wedge \vv{E_\text{ext}}[/$$]
il acquiert une énergie potentielle
[$$]E_p = - \vv{p}\, \cdot\, \vv{E_\text{ext}}[/$$]
et il subit une force
[$$]\vv{F} = -\vv{\text{grad}} E_p[/$$]
Notons que la force est nulle si le champ [$]\vv{E_\text{ext}}[/$] est homogène.