Title: Thermodynamique

Q: Calcul du travail reçu par un gaz parfait sur une transformation quasistatique isotherme.
A: Si la transformation est isotherme, alors [$]T = \text{Cste} [/$]. Par ailleurs, d'après l'équation d'état des gaz parfaits,
 [$$] P\, V = n\, R\, T [/$$]
Le travail se détermine ainsi selon
[$$] W = - \int_i^f P_\text{ext}\, \text{d} V = - \int_i^f P\, \text{d} V [/$$]
car la transformation est quasistatique, et ensuite
[$$] W = - n\, R\, T\, \int_i^f  \frac{\text{d} V}{V} = n\, R\, T\, \ln \Big( \frac{V_i}{V_f} \Big)  [/$$]

Q: Calcul du travail reçu par un gaz parfait sur une transformation adiabatique.
A: Si la transformation est adiabatique, alors [$]Q = 0[/$] et le premier principe donne alors
[$$] W = \Delta U = C_v\, (T_f - T_i) [/$$]

Q: Que vaut la variation d'énergie interne pour une transformation cyclique?
A: L'énergie interne est une fonction d'état donc
[$$] \Delta U = 0 [/$$]
sur un cycle.

Q: Quelle est la définition de l'enthalpie?
A: [$$] H = U + P\, V [/$$]

Q: Que vaut la variation d'enthalpie d'un gaz parfait?
A: La seconde loi de Joule donne que l'enthalpie d'un gaz parfait ne dépend que de la température. On précise
[$$] \Delta H = C_p\, (T_f - T_i) [/$$]

Q: Énoncer le second principe de la thermodynamique.
A: L'entropie est une fonction d'état, extensive mais non conservative.
Lors d'une transformation élémentaire en contact avec un thermostat de température [$]T_\text{ext}[/$], la variation d'entropie d'un système fermé est
[$$] \text{d} S = \delta S_e + \delta S_c[/$$]
avec
[$$]\delta S_e = \frac{\delta Q}{T_\text{ext}} [/$$]
et
[$$] \delta S_c \geq 0[/$$]
[$]\delta S_c = 0[/$] si et seulement si la transformation est réversible.

Q: Quelles sont les hypothèses nécessaires à l'application des lois de Laplace?
A: Les lois de Laplace s'appliquent à
1. un gaz parfait
2. en évolution isentropique
Notons que si l'évolution est adiabatique et réversible, alors elle est isentropique.

Q: Énoncer le premier principe de la thermodynamique.
A: L'énergie [$]E[/$] est une fonction d'état extensive et conservative. Sa variation pour un système fermé s'écrit
[$$] \text{d} E = \delta W + \delta Q [/$$]

Q: Énoncer une loi de Laplace
A: [$$] P\, V^\gamma = \text{Cste} [/$$]
pour un gaz parfait en évolution isentropique.

Q: Comment passer d'une loi de Laplace à une autre?
A: Il suffit d'utiliser l'équation d'état des gaz parfaits
[$$] P\, V = n\, R\, T [/$$]
et d'isoler la variable qu'on souhaite éliminer.
Par exemple, partant de [$]P\, V^\gamma = \text{Cste} [/$], si on veut éliminer le volume on écrit
[$$]V = \frac{n\, R\, T}{P}[/$$]
d'où
[$$] P\, \frac{(n\, R)^\gamma\, T^\gamma}{P^\gamma} = \text{Cste} [/$$]
soit
[$$] P^{1 - \gamma}\, T^\gamma = \text{Cste}' [/$$]

Q: Donner le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert en écoulement permanent.
A: [$$] \Delta h + \Delta e_c + \Delta e_p = w_u + q [/$$]
où toutes les grandeurs sont massiques.

Q: Que vaut la variation d'énergie interne d'un gaz parfait?
A: La première loi de Joule énonce que l'énergie interne d'un gaz parfait dépend uniquement de la température. Plus précisément,
[$$] \Delta U = C_v\, \Delta T [/$$]

Q: Que vaut la masse volumique d'un gaz parfait?
A: [$$] \varrho = \frac{P\, M}{R\, T} [/$$]

Q: Calcul du travail sur une transformation isochore
A: [$$] \delta W = - P_\text{ext}\, \text{d} V = 0 [/$$]
car [$]\text{d} V = 0[/$] sur une isochore. En intégrant le long de la transformation on déduit
[$$] W = 0 [/$$]

Q: Calcul du travail sur une transformation isobare.
A: [$$] \delta W = -P_\text{ext}\, \text{d} V [/$$]
or sur une isobare, il y a équilibre
[$$] P_\text{ext} = P_\text{int} = P =\text{Cste} [/$$]
donc en intégrant le long de la transformation
[$$] W = \int_A^B \delta W = \int_{V_A}^{V_B} -P\, \text{d} V = -P \int_{V_A}^{V_B} \text{d} V = P\, (V_A - V_B) [/$$]

Q: Quelle est la définition du coefficient adiabatique [$]\gamma[/$] ?
A: [$$]\gamma = \frac{C_p}{C_v} [/$$]
c'est le rapport des capacités thermiques à pression et volume constants.

Q: Que vaut le coefficient adiabatique [$]\gamma[/$] de l'air?
A: L'air est modélisé comme un gaz parfait diatomique donc
[$$]C_V = \frac{5}{2}\, n\, R \qquad \text{et} \qquad C_p = \frac{7}{2}\, n\, R[/$$]
car par loi de Mayer [$]C_p = C_v + n\, R[/$] pour un gaz parfait. Il s'ensuit que
[$$]\gamma \equiv \frac{C_p}{C_v} = \frac{7}{5} = 1,40 [/$$]

Q: Quelle différence faites-vous entre [$]\Delta U[/$] et [$]\mathrm{d} U[/$]?
A: La première est une variation de l'énergie interne du système entre deux états lors d'une transformation finie (= non infinitésimale).
La deuxième est une variation de l'énergie interne du système entre deux états lors d'une transformation infinitésimale, c'est-à-dire entre deux états infiniments proches, c'est-à-dire entre deux états pour lesquelles les grandeurs d'états ([$]T[/$], [$]P[/$], [$]V[/$],...) n'ont varié que d'une quantité infinitésimale [$]\mathrm{d} T[/$], [$]\mathrm{d} P[/$], [$]\mathrm{d} V [/$].

Q: Qu'est-ce qu'une transformation quasi-statique?
A: C'est une transformation suffisamment lente pour pouvoir supposer que le système est à tout instant en équilibre avec l'extérieur. On a donc par exemple
[$$]T = T_\text{ext} \quad \text{et} \quad P = P_\text{ext}[/$$]

Q: Donner le premier principe industriel.
A: Pour un système ouvert à une entrée et une sortie, en régime stationnaire, on a
[$$]\Delta h + \Delta e_c + \Delta e_p = w_u + q [/$$]
où toutes les grandeurs sont massiques, et [$]w_u[/$] est le travail utile (c'est-à-dire autre que celui des forces de pression) massique.

Q: Donner la loi de Stefan.
A: Un corps noir à l'équilibre radiatif émet au niveau de sa surface une puissance surfacique [$]\varphi[/$] telle que
[$$]\varphi = \sigma\, T^4 [/$$]
avec [$]\sigma[/$] la constante de Stefan.

Q: Donner la loi de déplacement de Wien.
A: Un corps noir à l'équilibre radiatif émet un rayonnement dont la densité spectrale est maximale à la longueur d'onde [$]\lambda_\text{max}[/$] donnée par
[$$]\lambda_\text{max}\, T \approx 3 \text{ mm}\, \cdot\, \text{K} [/$$]
Par exemple, pour le Soleil de température de surface [$]T \approx 6000 \text{ K}[/$], on trouve
[$$]\lambda_\text{max} \approx 500 \text{ nm}[/$$]
donc du vert.

Q: Qu'est-ce qu'un corps noir?
A: C'est un corps qui a la propriété d'absorber tous les rayonnements qu'il reçoit. En conséquence, il ne réfléchit rien et ne transmet rien.
Attention cependant, on montre qu'il émet forcément un rayonnement lui même, donc un corps noir n'apparaît pas forcément noir (sa couleur dépend de sa température, voir la loi de déplacement de Wien).

Q: Quelles équations écrit-on pour étudier l'effet de serre sur Terre par exemple?
A: On traduit l'équilibre (radiatif) des différents corps en écrivant qu'ils émettent exactement la même puissance surfacique que ce qu'ils absorbent
[$$]\varphi_e = \varphi_a[/$$]
puis [$]\varphi_e[/$] est donnée par la loi de Stefan.

Q: Qu'appelle-t-on l'albédo d'un corps?
A: C'est la fraction [$$]\alpha[/$$] du rayonnement incident que le corps réfléchit.
[$$]\varphi_r = \alpha\, \varphi_i[/$$]
L'albédo de la Terre est d'environ 30%, ce qui signifie qu'elle réfléchit 30% du rayonnement qui lui parvient (essentiellement celui du Soleil).

Q: Vis-à-vis d'un rayonnement incident, que peut faire un corps quelconque?
A: Il peut soit le transmettre, soit le réfléchir, soit l'absorber.
Un corps noir absorbe tout donc ne réfléchit et ne transmet rien.

Q: Quelle est la puissance électromagnétique émise par le Soleil, en fonction de son rayon et de sa température?
A: En modélisant le Soleil comme un corps noir, il émet à sa surface une puissance surfacique
[$$]\varphi = \sigma\, T_S^4 [/$$]
donc en intégrant sur toute sa surface, il émet une puissance
[$$]\mathcal{P} = 4\, \pi\, R_S^2\, \sigma\, T_S^4[/$$]

Q: Dans quel domaine électromagnétique émet un corps noir à température ambiante?
A: Dans l'infrarouge.