Title: Diffusion

Q: Loi de Fick
A: [$$] \vv{\jmath_N} = -D\, \vv{\text{grad}}\, n [/$$]

Q: Équation de conservation du nombre de particules si il n'y a pas de création/destruction de particules
A: [$$]\frac{\partial n}{\partial t} + \text{div}\, \vv{\jmath_N} = 0[/$$]

Q: Équation de diffusion pour les particules
A: [$$] \frac{\partial n}{\partial t} = D\, \Delta n [/$$]

Q: Équation de conservation de l'énergie en l'absence de source
A: [$$] c\, \varrho\, \frac{\partial T}{\partial t} + \text{div}\, \vv{\jmath_Q} = 0 [/$$]
avec [$]c[/$] la capacité thermique massique et [$]\varrho[/$] la masse volumique du matériau.

Q: Loi de Fourier
A: [$$] \vv{\jmath_Q} = - \lambda\, \vv{\text{grad}}\, T[/$$]
avec [$]\lambda[/$] la conductivité thermique du matériau.

Q: Quel est le temps de diffusion d'un parfum dans l'air sur une distance [$]L=1 \text{ m}[/$]?
A: En ordre de grandeur,
[$$] T \sim \frac{L^2}{D} [/$$]
Par ailleurs, dans un gaz [$]D \approx 10^{-5} \text{ m}^2\, \cdot\, \text{s}^{-1}[/$] donc on calcule
[$$] T \approx 10^5 \text{ s} \approx 28 \text{ h}[/$$]
Cette valeur énorme montre que lorsque l'on sent le parfum d'une personne qui vient de rentrer dans notre pièce, c'est dû à de la convection et pas à de la diffusion.

Q: Quel est le statut des lois de Fick et de Fourier?
A: Ce sont des lois phénoménologiques, ce qui signifie qu'on les écrit car ce sont les lois les plus simples possibles pour rendre du phénomène de diffusion observé, mais il n'y a aucune justification théorique qui impose que ces lois soient toujours vérifiées. En pratique, il y a donc plein de situations dans lesquelles elles sont mises en défaut.

Q: Citer trois phénomènes de diffusion et leurs lois phénoménologiques
A: 1. Diffusion de particules (Loi de Fick)
[$$] \vv{\jmath_N} = -D\, \vv{\text{grad}}\, n [/$$]
2. Diffusion thermique (Loi de Fourier)
[$$] \vv{\jmath_Q} = -\lambda\, \vv{\text{grad}}\, T [/$$]
3. Diffusion des électrons dans un conducteur (Loi d'Ohm locale)
[$$] \vv{\jmath} = -\gamma\, \vv{\text{grad}}\, V [/$$]

Q: Quel est l'ordre de grandeur d'un coefficient de diffusion de particules dans un gaz?
A: [$$]D \approx 10^{-5}\, \text{m}^2\, \cdot\, \text{s}^{-1} [/$$]

Q: Quelle est la signification du vecteur densité de courant de particules?
A: Il donne le nombre de particules qui traversent une surface par unité de temps et par unité de surface.
Cela signifie que son flux à travers une surface donne le nombre de particules qui passent à travers cette surface [$]S[/$] par unité de temps (c'est-à-dire que son flux donne le flux de particules).
[$$] \phi = \iint_S \vv{\jmath_N}\, \cdot\, \vv{\dd S} [/$$]
et donc le nombre de particules qui traversent la surface [$]S[/$] entre [$]t[/$] et [$]t+ \dd t[/$] est
[$$]\dd N = \phi\, \dd t = \bigg( \iint_S \vv{\jmath_N}\, \cdot\, \vv{\dd S} \bigg)\, \dd t [/$$]

Q: Comment s'interprète microscopiquement le coefficient de diffusion de particules?
A: C'est le produit du libre parcours moyen par la vitesse d'agitation thermique
[$$] D \approx v_\text{th}\, \ell_\text{lpm}[/$$]

Q: En l'absence de source et en régime stationnaire, que peut-on dire de [$]\vv{\jmath_N}[/$] ?
A: Il est à flux conservatif. Cela vient de l'équation de conservation en régime stationnaire
[$$]\text{div}\, \vv{\jmath_N} = 0[/$$]

Q: Comment s'écrivent l'équation de conservation, la loi de Fick et l'équation de diffusion dans un système unidimensionnel?
A: [$$] \frac{\partial n}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0 [/$$]
[$$] j = -D\, \frac{\partial n}{\partial x} [/$$]
puis en remettant la seconde dans la première
[$$] D\, \frac{\partial^2 n}{\partial x^2} = \frac{\partial n}{\partial t} [/$$]

Q: Quels sont les trois types de transport d'énergie?
A: La convection, la conduction (=diffusion) et le rayonnement.
Dans le vide, seul le transport par rayonnement est possible (diffusion et convection ont besoin d'un milieu matériel pour se faire).
Lorsqu'elle existe, la convection domine toujours sur la diffusion, cette dernière étant un phénomène lent donc peu efficace par nature.

Q: Résistance thermique d'un matériau d'épaisseur [$]\ell[/$] et de section [$]S[/$]
A: [$$] R_\text{th} = \frac{\ell}{\lambda\, S} [/$$]
si [$]\lambda[/$] est la conductivité thermique du matériau.
Attention, la résistance thermique n'est pas en Ohm [$]\Omega[/$], mais en [$]\text{K}\, \cdot\, \text{W}^{-1}[/$]

Q: Conductivité thermique du cuivre
A: [$$]\lambda \approx 400 \text{ W}\, \cdot\, \text{K}^{-1}\, \cdot\, \text{m}^{-1}[/$$]
La loi de Fourier permet de retrouver l'unité facilement.

Q: Quelle est l'expression du coefficient de diffusion thermique?
A: [$$]D_\text{th} = \frac{\lambda}{\varrho\, c}[/$$]
si [$]\varrho[/$] est la masse volumique du matériau, [$]c[/$] sa capacité thermique massique et [$]\lambda[/$] sa conductivité thermique.

Q: Quelle est l'unité d'un coefficient de diffusion?
A: Quelque soit le phénomène (diffusion de particules, diffusion thermique, ou autre) le coefficient de diffusion est toujours en [$]\text{m}^2\, \cdot\, \text{s}^{-1}[/$]

Q: Comment s'exprime le transfert thermique entre [$]t[/$] et [$]t + \dd t[/$] à travers une surface [$]\mathcal{S}[/$] ?
A: C'est [$]\delta Q = \mathcal{P}\, \dd t[/$] où la puissance [$]\mathcal{P}[/$] (c'est-à-dire le flux d'énergie) est elle-même le flux à travers [$]\mathcal{S}[/$] du vecteur densité surfacique de puissance [$]\vv{\jmath_Q}[/$].  Donc
[$$] \delta Q = \bigg( \iint_\mathcal{S} \vv{\jmath_Q}\, \cdot\, \vv{\dd S} \bigg)\, \dd t [/$$]

Q: Comment s'écrit l'énergie interne [$]U[/$] d'une phase incompressible indilatable?
A: [$$]U = C\, T[/$$]
avec [$]C[/$] la capacité thermique. Pour un élément de volume [$]\dd V[/$] d'une telle phase, l'énergie interne est donc
[$$]\dd U = \varrho\, c\, T\, \dd V[/$$]
avec [$]\varrho[/$] la masse volumique et [$]c[/$] la capacité thermique massique.