Title: Mécanique quantique

Q: Donner les relations de De Broglie pour une onde de matière.
A: [$$] E = \hbar\, \omega \qquad \text{et} \qquad p = \hbar\, k[/$$]

Q: Que représente la fonction d'onde?
A: Son module carré donne la densité (linéïque) de probabilité de présence. En d'autres termes, la probabilité que la particule se trouve à [$]t[/$] entre [$]x[/$] et [$]x + \dd x[/$] est
[$$]\dd \mathcal{P}(x,\, t) = |\psi(x,\, t)|^2\, \dd x[/$$]

Q: Qu'appelle-t-on l'interprétation de Born?
A: C'est le fait de donner au module carré de la fonction d'onde le sens physique d'une densité de probabilité.
En fait, lorsque De Broglie introduit les ondes de matière, puis que Schrödinger écrit l'équation qui régit leur dynamique, aucun des deux ne donne une interprétation physique satisfaisante de [$]\psi[/$]. C'est Born qui le fait quelques années plus tard.

Q: Qu'est-ce que le potentiel [$]V[/$] en mécanique quantique?
A: C'est en fait l'énergie potentielle de la particule.

Q: Quelle est la définition de la quantité de mouvement d'une particule de masse [$]m[/$]?
A: [$$] \vv{p} = m\, \vv{v}[/$$]
avec [$]\vv{v}[/$] la vitesse de la particule.

Q: Que vaut le courant de probabilité [$]\vv{\jmath}[/$] associé à une OPPH [$]\psi = A\, \text{e}^{i\, (k_0\, x - \omega\, t)}[/$]?
A: Par définition, c'est
[$$]\vv{\jmath} = \frac{\hbar\, \vv{k}}{m}\, |\psi|^2[/$$]
soit ici
[$$]\vv{\jmath} =  \frac{\hbar\, k_0}{m}\, |A|^2\, \vv{e_x}[/$$]

Q: Qu'appelle-t-on la condition de normalisation?
A: La particule existe donc la probabilité de la trouver dans tout l'espace vaut 1. La probabilité de la trouver entre [$]x[/$] et [$]x+ \dd x[/$] étant
[$$]\dd \mathcal{P}(x,\, t) = |\psi(x,\, t)|^2\, \dd x[/$$]
on a sur tout l'espace
[$$] \int_{-\infty}^{\infty}  |\psi(x,\, t)|^2\, \dd x = 1[/$$]

Q: Donner le principe d'indétermination d'Heisenberg position/impulsion en ordre de grandeur.
A: Lorsqu'on raisonne en ordre de grandeur, on peut écrire qualitativement
[$$] \Delta x\, \Delta p \sim \hbar [/$$]
Ensuite, pour une particule confinée dans un espace de taille [$]\Delta x \sim a[/$], on poursuit le raisonnement qualitatif en assimilant [$]\Delta p \sim p = m\, v[/$] d'où
[$$]v \sim \frac{\hbar}{m\, a}[/$$]
par exemple.

Q: Citer une application technologique de l'effet tunnel.
A: La microscopie à effet tunnel, qui sert à mesurer des profils de surface (obligatoirement conductrice) à l'échelle de l'atome.

Q: Quelles sont les solutions de
[$$] \varphi'' + \frac{2\, m\, E}{\hbar^2}\, \varphi = 0[/$$]
A: C'est l'équation d'un oscillateur harmonique donc les solutions s'écrivent soit
[$$]\varphi(x) = A\, \cos(k\, x) + B\, \sin(k\, x)[/$$]
soit
[$$]\varphi(x) = A' \text{e}^{\ii\, k\, x} + B' \text{e}^{-\ii\, k\, x}[/$$]
avec [$]k = \sqrt{2\, m\, E}\, /\, \hbar[/$].

Q: Quelles sont les solutions de
[$$]\varphi'' - \frac{2\, m\, (V_0 - E)}{\hbar^2}\, \varphi = 0[/$$]
si [$]V_0 > E[/$]?
A: Ce n'est pas l'équation d'un oscillateur harmonique, car il y a un signe [$]-[/$]. Les solutions sont des exponentielles réelles :
[$$]\varphi = A\, \ee^{k\, x} + B\, \ee^{-k\, x} [/$$]
avec [$]k = \sqrt{2\, m\, (V_0 - E)} \, /\, \hbar[/$]. On les appelle des ondes évanescentes.

Q: Que peut-on dire des niveaux d'énergie d'une particule dans un puits fini comparée à ceux dans un puits infini?
A: Ils sont plus bas en énergie. On peut l'intuiter en comprenant que la particule quantique pouvant "baver" en dehors du puits fini, elle a plus de place disponible donc elle est moins confinée que dans le puits infini. Comme l'énergie des niveaux est en [$]E \propto 1\, /\, a^2[/$] avec [$]a[/$] la largeur du puits, on voit que si [$]a[/$] augmente alors [$]E[/$] diminue.

Q: Quelle est la forme des états stationnaires d'une particule quantique d'énergie [$]E[/$] sous une barrière de potentiel [$]V_0 > E[/$]?
A: Ce sont des ondes évanescentes, c'est-à-dire des exponentielles réelles.

Q: Comment définit-on les coefficients de réflexion et de transmission en mécanique ondulatoire?
A: Comme les rapports des courants de probabilité [$]j[/$]. On définit
[$$]R = \left|\frac{j_r}{j_i}\right| \qquad \text{et} \qquad T = \left|\frac{j_t}{j_i}\right| [/$$]
où les grandeurs sont les courants incident, réfléchi et transmis.

Q: Comment peut-on retrouver facilement les niveaux d'énergie d'une particule confinée dans un puits infini?
A: En exploitant l'analogie avec les modes propres d'une corde vibrante fixée à ses deux extrémités. Les longueurs d'onde des modes de cette corde sont
[$$]\lambda_n = \frac{2\, L}{n}[/$$]
Alors, en utilisant [$]k = 2\, \pi\, /\, \lambda[/$] d'une part, puis d'autre part le fait que la particule est libre dans le puits ([$]V= 0[/$]), donc son énergie est
[$$]E = \frac{1}{2}\, m\, v^2 = \frac{\hbar^2\, k^2}{2\, m} [/$$]
alors
[$$]E = \frac{4\, \hbar^2\, \pi^2}{2\, m\, \lambda^2_n} = \frac{\hbar^2\, \pi^2\, n^2}{2\, m\, L^2}[/$$]
avec [$]L[/$] la largeur du puits.